Fundamentos de los sistemas de ecuaciónes lineales
Los sistemas de ecuaciones son conjuntos de ecuaciones con las mismas incógnitas.
Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones en el que cada ecuación es lineal. Una solución de un sistema es una asignación de valores para las incógnitas que hace verdadera cada una de las ecuaciones. Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema.
Tipos
Este tipo de sistemas surge de forma natural al trabajar con rectas en el plano, ya que cada ecuación lineal es una recta. Todos los puntos de esa recta son soluciones de la ecuación y viceversa. Entonces, si tenemos dos rectas, se genera un sistema con dos ecuaciones.
Si las rectas se cortan en un punto, ese punto pertenece a ambas rectas, es decir, es solución de ambas ecuaciones o lo que es lo mismo, es solución del sistema de ecuaciones.
Desde este punto de vista geométrico, sólo pueden ocurrir tres situaciones:
Métodos de resolución
Reducción. En este método se busca eliminar una de las variables sumando o restando las ecuaciones. De ser necesario, se multiplican las ecuaciones por números reales apropiados, ya que una ecuación no se altera si se multiplica por la misma cantidad a ambos lados de la igualdad.
Sustitución. Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y sustituir el despeje en la otra. Se puede escoger cualquiera de las variables y cualquiera de las ecuaciones.
Igualación. Para aplicar este método es necesario despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar con el fin de hallar unas de las incógnitas en consecuencia la solución.
REPRESENTACIÓN GRáFICA
Métodos de resolución
Como es de esperar, el método gráfico consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. Como vamos a trabajar con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (x y y), la gráfica de cada ecuación es una recta. Para poder aplicar el método gráfico debemos saber representar las gráficas de las rectas. Nosotros lo haremos uniendo puntos calculados previamente.
Resolución
Lo primero que hacemos es despejar y en ambas ecuaciones.
Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizamos, por ejemplo: 𝑥 = 0 y 𝑥= 2. Luego, representamos los puntos de las tablas y las unimos.
CASO 1
Interpretación geométrica de las soluciones
Caso 1
La interpretación geométrica de un sistema de ecuación lineal tiene que ver con el tipo del sistema que se este abordando, tomando como ejemplo el ejercicio anterior se puede visualizar que ambas rectas se interceptan en el punto (1,2) por tanto, aquellas rectas que se cortan en un único punto representaran la solución única del sistema de ecuación, en consecuencia, el sistema de ecuación abordado corresponde a un tipo de sistema compatible determinado.
Caso 2
En los sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados obtendremos la gráfica en el plano cartesiano.
En estos casos, cuando la recta de cada ecuación se encuentra gráficamente superpuesta una con la otra como se aprecia en la imagen. La característica principal de este sistema es que tiene infinitas soluciones, en otras palabras, las dos rectas tienen la misma gráfica, significa que cualquier punto de una recta también será de la otra, de ahí que existan infinitas soluciones.
Caso 3
Para los sistema de ecuaciones incompatibles tendremos la gráfica a la izquierda. En donde la gráfica de cada ecuación no se intercepta y tampoco es la misma como el caso anterior, es decir, los sistemas de ecuaciones lineales indeterminados no tienen solución.
Las ecuaciones de un sistema incompatible no se cumplirán por ningún valor de sus incógnitas.
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